A pattern shows up if we put the output (the runs of 1s and runs of 0s) of TM #4 in rows of 8 numbers. So far, columns 1 and 2 appear to be “all 3” and “all 1”.
We turn to column 3, the terms with index 8*J + 3, J = 0, 1, 2, 3,…..
These cover the indices 3, 11, 19 and so on. Next to the index, we show the term itself. The indices increase by 8 from a line to the next. As for the terms, it’s quite mysterious. Base 2 and/or base 4 and/or base 8 are relevant, there is more regularity and order than base 10.
The numbers below are in octal (base 8):
index number: term:
=================================
5 5
15 15
25 25
35 35
45 45
55 55
65 65
75 75
105 5
115 115
125 125
135 135
145 145
155 155
165 165
175 175
205 5
215 15
225 225
235 35
245 45
255 255
265 265
275 275
305 5
315 315
325 325
335 335
345 345
355 355
365 365
375 375
405 5
415 15
425 25
435 35
445 45
455 55
465 465
475 75
505 5
515 115
525 525
535 135
545 145
555 555
565 565
575 575
605 5
615 15
625 625
635 35
645 45
655 655
665 665
675 675
705 5
715 715
725 725
735 735
745 745
755 755
765 765
775 775
1005 5
1015 15
1025 25
1035 35
1045 45
1055 55
1065 65
1075 75
1105 5
1115 115
1125 125
1135 135
1145 145
1155 155
1165 1165
1175 175
1205 5
1215 15
1225 225
1235 35
1245 45
1255 255
1265 1265
1275 275
1305 5
1315 315
1325 1325
1335 335
1345 345
1355 1355
1365 1365
1375 1375
1405 5
1415 15
1425 25
1435 35
1445 45
1455 55
1465 1465
1475 75
1505 5
1515 115
1525 1525
1535 135
1545 145
1555 1555
1565 1565
1575 1575
1605 5
1615 15
1625 1625
1635 35
1645 45
1655 1655
1665 1665
1675 1675
1705 5
1715 1715
1725 1725
1735 1735
1745 1745
1755 1755
1765 1765
1775 1775
2005 5
2015 15
2025 25
2035 35
2045 45
2055 55
2065 65
2075 75
2105 5
2115 115
2125 125
2135 135
2145 145
2155 155
2165 165
2175 175
2205 5
2215 15
2225 225
2235 35
2245 45
2255 255
2265 2265
2275 275
2305 5
2315 315
2325 2325
2335 335
2345 345
2355 2355
2365 365
2375 2375
2405 5
2415 15
2425 25
2435 35
2445 45
2455 55
2465 465
2475 75
2505 5
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3265 3265
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3315 315
3325 3325
3335 335
3345 345
3355 3355
3365 3365
3375 3375
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3555 3555
3565 3565
3575 3575
3605 5
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3655 3655
3665 3665
3675 3675
3705 5
3715 3715
3725 3725
3735 3735
3745 3745
3755 3755
3765 3765
3775 3775
4005 5
4015 15
4025 25
4035 35
4045 45
4055 55
4065 65
4075 75
4105 5
4115 115
4125 125
4135 135
4145 145
4155 155
4165 165
4175 175
4205 5
4215 15
4225 225
4235 35
4245 45
4255 255
4265 4265
4275 275
4305 5
4315 315
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4355 4355
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4375 375
4405 5
4415 15
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4435 35
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4455 55
4465 465
4475 75
4505 5
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4545 145
4555 555
4565 565
4575 575
4605 5
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4625 625
4635 35
4645 45
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4665 4665
4675 675
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4715 715
4725 4725
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4755 4755
4765 765
4775 4775
5005 5
5015 15
5025 25
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5045 45
5055 55
5065 65
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5115 115
5125 125
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5175 175
5205 5
5215 15
5225 225
5235 35
5245 45
5255 255
5265 5265
5275 275
5305 5
5315 315
5325 5325
5335 335
5345 345
5355 5355
5365 1365
5375 5375
5405 5
5415 15
5425 25
5435 35
5445 45
5455 55
5465 1465
5475 75
5505 5
5515 115
5525 1525
5535 135
5545 145
5555 1555
5565 5565
5575 1575
5605 5
5615 15
5625 1625
5635 35
5645 45
5655 1655
5665 5665
5675 1675
5705 5
5715 1715
5725 5725
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5755 5755
5765 5765
5775 5775
6005 5
6015 15
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6035 35
6045 45
6055 55
6065 65
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6105 5
6115 115
6125 125
6135 135
6145 145
6155 155
6165 165
6175 175
6205 5
6215 15
6225 225
6235 35
6245 45
6255 255
6265 6265
6275 275
6305 5
6315 315
6325 6325
6335 335
6345 345
6355 6355
6365 365
6375 6375
6405 5
6415 15
6425 25
6435 35
6445 45
6455 55
6465 465
6475 75
6505 5
6515 115
6525 525
6535 135
6545 145
6555 555
6565 6565
6575 575
6605 5
6615 15
6625 625
6635 35
6645 45
6655 655
6665 6665
6675 675
6705 5
6715 715
6725 6725
6735 735
6745 745
6755 6755
6765 6765
6775 6775
7005 5
7015 15
7025 25
7035 35
7045 45
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7075 75
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7125 125
7135 135
7145 145
7155 155
7165 7165
7175 175
7205 5
7215 15
7225 225
7235 35
7245 45
7255 255
7265 7265
7275 275
7305 5
7315 315
7325 7325
7335 335
7345 345
7355 7355
7365 7365
7375 7375
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7415 15
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7435 35
7445 45
7455 55
7465 7465
7475 75
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7525 7525
7535 135
7545 145
7555 7555
7565 7565
7575 7575
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7615 15
7625 7625
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7655 7655
7665 7665
7675 7675
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7725 7725
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7745 7745
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7775 7775
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10045 45
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10065 65
10075 75
10105 5
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10125 125
10135 135
10145 145
10155 155
10165 165
10175 175
10205 5
10215 15
10225 225
10235 35
10245 45
10255 255
10265 265
10275 275
10305 5
10315 315
10325 325
10335 335
10345 345
10355 10355
10365 365
10375 375
10405 5
10415 15
10425 25
10435 35
10445 45
10455 55
10465 465
10475 75
10505 5
10515 115
10525 525
10535 135
10545 145
10555 555
10565 565
10575 575
10605 5
10615 15
10625 625
10635 35
10645 45
10655 655
10665 10665
10675 675
10705 5
10715 715
10725 725
10735 735
10745 745
10755 10755
10765 765
10775 775
11005 5
11015 15
11025 25
11035 35
11045 45
11055 55
11065 65
11075 75
11105 5
11115 115
11125 125
11135 135
11145 145
11155 155
11165 1165
11175 175
11205 5
11215 15
11225 225
11235 35
11245 45
11255 255
11265 1265
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11305 5
11315 315
11325 11325
11335 335
11345 345
11355 1355
11365 1365
11375 11375
11405 5
11415 15
11425 25
11435 35
11445 45
11455 55
11465 1465
11475 75
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11515 115
11525 1525
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11545 145
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11565 11565
11575 1575
11605 5
11615 15
11625 1625
11635 35
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11655 1655
11665 1665
11675 1675
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11715 1715
11725 1725
11735 1735
11745 1745
11755 1755
11765 11765
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12065 65
12075 75
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12115 115
12125 125
12135 135
12145 145
12155 155
12165 165
12175 175
12205 5
12215 15
12225 225
12235 35
12245 45
12255 255
12265 12265
12275 275
12305 5
12315 315
12325 2325
12335 335
12345 345
12355 12355
12365 365
12375 2375
12405 5
12415 15
12425 25
12435 35
12445 45
12455 55
12465 465
12475 75
12505 5
12515 115
12525 525
12535 135
12545 145
12555 555
12565 2565
12575 575
12605 5
12615 15
12625 625
12635 35
12645 45
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12665 12665
12675 675
12705 5
12715 715
12725 12725
12735 735
12745 745
12755 12755
12765 2765
12775 12775
13005 5
13015 15
13025 25
13035 35
13045 45
13055 55
13065 65
13075 75
13105 5
13115 115
13125 125
13135 135
13145 145
13155 155
13165 3165
13175 175
13205 5
13215 15
13225 225
13235 35
13245 45
13255 255
13265 13265
13275 275
13305 5
13315 315
13325 13325
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